[기초수학] 자연 상수 e, 도대체 넌 뭐니
공학이나 통계 강의를 듣다보니 자꾸 e라는 기호가 등장한다.
고등학교 교육을 인문계로 이수해서 아직까지 자연상수 e에 대해 제대로 배워보지 못했는데,
e라는 문자가 내 앞에 모습을 드러낼 때면
자연상수 e라는게 있다는데 이게 그거를 말하는 건지,
아니면 기댓값 Expectation을 나타낼 때 쓰는 표현인지,
아님 내가 모르는 또다른 무언가가 있는 건지,
아니면 별 의미없는 기호인지 도무지 알 길이 없다.
이게 다 자연 상수 e에 대해 정확히 몰라서 생기는 문제란 생각이 들어서
우선 이것부터 제대로 이해를 하고 넘어가보기로 했다.
1. 자연 상수 e
우선, 자연 상수의 약자 `e`는
관심없는 사람들도 지나가다 한번쯤은 들어봤을 법한 이름인 오일러
오일러 경로 (a.k.a 한붓그리기), 오일러의 공식 등 말고도 수많은 수학적 업적을 이룩한
레온하르트 오일러 Leonhard Euler의 앞 글자를 따 붙여졌다고 한다.
그럼 그가 자연 상수라고 불리는 이 수를 발견한 것일까?
그건 아님. 존 네이피어 & 헨리 브리그스, 쟈코브 베르누이 등이 앞서 발견한 바 있지만
그 중요성을 인지하고 정리했던 사람이 오일러라고 한다.
역시 예나 지금이나 기록과 증거가 중요하다.
(그러니 나도 블로그를 열심히 쓰자, GitHub에 잔디도 꾸준히 심고)
2. 자연 상수 e의 정의
자연 상수의 의미를 찾아보면
'자연 로그의 밑', '자연 로그를 정의하는 상수' 등으로 설명되어 있다.
자연 상수를 모르는데 자연 로그도 당연히 모른다.
자연 로그의 뜻을 찾아보자.
자연 로그는 기호 e로 표현되는 특정 상수를 밑으로 하는 로그라고 한다.
.. 아니 그 말이 그 말 아닙니까!!
자연 상수를 모르는 입장에서 여전히 이해하기 쉽지가 않다.
조금 더 직관적인 설명이 필요하다.
난 일단 이해가 가지 않으면 마음이 답답해
다음 단계로 진행하기가 힘들다.
평소에도 늘 무슨 일을 하든 이유와 이해가 필요한 피곤한 성격임.
이번에는 색다른 표현을 찾아보았다.
또다른 곳에서는 자연 상수를
자연의 연속적인 성장을 표현하기 위해 고안된 상수라고 표현하고 있다.
처음 들었을 때는 이 말의 의미도 알아차리기 어려웠지만
어느 정도 이해하고 나서 돌아보니
자연상수를 추상적인 관점에서 참 잘 나타내고 있는 표현 같다.
3. 자연상수에 대한 이해
우리에게 조금 더 익숙한 상수로는 기호 'π'가 있다.
π(파이)는 원주율,
즉 원의 지름이 1일때, 원의 둘레의 길이를 말하는 것이다.
그래서 바퀴의 지름으로 차가 이동할 수 있는 거리 등을 구하는데 사용되곤 한다.
그럼 대체 이 e = 2.71828.. 의 값은 무엇이란 말이냐.
적잖이 골머리를 앓던 내게 이해할 수 있도록 도움을 준 좋은 예시가 있다.
(1)
은행 이자에 대해서 한번 생각을 해보자.
우리는 고등학교 과정 수학에서 단리와 복리에 대해서 배운다.
은행 적금에 매달 돈을 입금하면 달마다 이자가 정산된다고 할 때,
단리는 원금에 대해서만 이율을 적용하는 것을 말한다. 원금에서 생기는 이자에는 다시 이자를 붙이지 않는다.
반면, 복리는 원금에 대한 이자뿐만 아니라 이자에 대한 이자도 함께 계산하는 방법을 말한다.
대충 봐도 원금에만 이율을 적용하는 것보다,
원금에 대한 이자까지 포함된 금액에 이율을 적용하는 복리가
더 많은 이자를 수령할 수 있을 것 같다.
실제로도 당연히 그러하다.
그렇다면 이런 경우는 어떨까?
A 은행은 1년에 한 번씩 복리로 원금의 8%의 이율을 적용한 이자를 지급해준다.
반면에 B 은행은 1년에 4번을 나누어서, 하지만 2%의 이율을 적용한 이자를 복리로 계산해주겠다고 한다.
이 경우에 어느 은행에 돈을 맡기는 것이 더 많은 금액을 수령할 수 있을까?
A 은행에 100만원을 맡겼다면,
10년 후에는 p(10) = 100 * (1 + 0.08)^10 = 215.8925만원,
약 215만 9천원이 된다.
B 은행에 맡긴 100만원은 10년 후에 p(10) = 100 * (1 + 0.08 / 4)^(10 * 4) = 220.8039만원,
약 220만 8천원이 될 것이다.
은행 B에 맡긴 돈이 10년이 지나면 5만원 가량을 더 수령할 수 있는 것을 확인할 수 있다.
확실히 이자를 더 자주 받게 되는 구조일수록, 계산상 같은 이율이 적용되더라도 돈을 더 많이 수령할 수 있다.
그렇다면 이자를 받는 횟수를 늘려나갈수록,
1년에 6번, 한 달에 한번, 일주일에 한번,
아니 매일 매일 이자가 계산된다면,
즉 N값을 무한히 키워간다고 가정한다면,
우리가 수령할 수 있는 돈은 무한히 증가하는 것일까?
0.001초에 한 번씩 (8% / (N=3.1536 * 10^9))의 이자를 계산한다면
우리는 100만원으로 억만장자가 될 수 있을까?
물론 그렇지 않다.
우리가 받게 되는 돈은 일정한 비율로 증가하다가 점점 특정 값으로 결국 수렴하게 된다.
그 값이 2.718282473 ... (×100만원)
지금껏 열심히 이자 이야기를 늘어놓은 이유가 무엇이냐.
이 값이 바로 `자연상수 e`이기 때문이다.
우리가 맡긴 100만원은 아무리 잘게 쪼개서 이자를 계산하더라도 272만원에 도달할 수 없다.
(2)
일 년을 한 달로, 한 달을 하루로, 하루를 일 초로,
앞선 예시에서 우리는 시간을 점점 더 작은 단위로 나누어 계산했지만
아무리 찰나의 단위로 시간을 잘게 나누더라도 그 사이에는 무수한 시간들이 또다시 채워질 것이다.
사실 시간은 일 분 일 초 단위로 쪼개지지 않고 계속 해서 흘러간다.
완전히 이어지는 연속이다.
결국 이런 시간들은 우리 생활의 편의를 위해서 구분한 것일 뿐이다.
작년에 허송세월하며 흘려보냈던 시간과
지금 이 글을 쓰고 있는 도중에 흘러가고 있는 시간은 다르지 않다.
이처럼 '시간'이란
우리 삶, 나아가 세상 전반에 걸쳐 영향을 주며,
우리의 짧은 인식으로는 미처 다 헤아릴 수 없는 미지의 개념이다.
이후 우리는 이러한 시간을 변수로 움직이는
모든 자연현상은 이 자연상수 e와 아주 밀접한 관계가 있음을 알게된다.
예를 들어, 나무의 성장속도, 인간의 성장속도,
심지어는 소문이 퍼져나가는 속도까지도,
시간을 기준으로 자라나는 정말 많은 것들이 자연상수와 관련을 맺고 있는 것이다.
이들은 처음에는 아주 빠르게 증가(성장)하지만
점점 증가하는 속도가 줄어들게 된다.
나무는
아주 빠른 속도로 성장하다가 자라나는 속도가 점점 줄어든다.
소문은
처음에 소수의 사람들로부터 매우 빠르게 번져나가지만
소문을 아는 사람들의 수가 과반수를 넘어서면,
물어보았을 때 이미 그 소문에 대해서 알고있는 사람들이 많다면,
그 소문은 퍼져나가는 속도가 다시 줄어들 것이다.
우리가 살아가고 있는 세상은 연속적인 시간을 변수로 많은 일들이 일어난다.
우리가 자연스럽고 편하게 느끼는 어떤 값들은 자연상수 e와 굉장히 밀접하다.
이와 같은 자연 상수 e는 밑을 e로 하는 지수함수와 이의 역함수인 자연로그의 개념으로 확장되어
지수 함수와 로그 함수의 미적분으로 발전되어간다.
y = 자연로그 x를 미분하면 1/x이다.
y = e^x는 미분과 적분 모두 같은 값을 유지한다.
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곧 이어서 완성하겠습니다.
To Be Continue . . !
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8. 로지스틱 회귀
점점로지스틱 개체군 성장 모델,
9. 참고
https://angeloyeo.github.io/2019/09/04/natural_number_e.html
https://youtu.be/Ha-lR0lrgnA
https://youtu.be/rHDxWPUyFwE